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旧作：关于函数列 x,x²+x,x³+3x²+x,x⁴+6x³+7x²+x,……

数理科学

发布于：2015年6月27日

x,x2+x,x3+3x2+x,x4+6x3+7x2+x,…x,x^2+x,x^3+3x^2+x,x^4+6x^3+7x^2+x,\dots

这是对前一篇文章的一个补充和推广。

显然，令其中的 x=1x=1 ,函数列就成为数列 1,2,5,15,…1,2,5,15,\dots。

事实上，这一函数列来自原数列问题的推广

fn(x)=∑k=0+∞knk!xkf_n(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}x^k

而前几项

f1(x)=xexf2(x)=(x+x2)exf3(x)=(x3+3x2+x)exf4(x)=(x4+6x3+7x2+x)ex\begin{aligned} f_1(x)&=x\mathrm{e}^x\\ f_2(x)&=(x+x^2)\mathrm{e}^x\\ f_3(x)&=(x^3+3x^2+x)\mathrm{e}^x\\ f_4(x)&=(x^4+6x^3+7x^2+x)\mathrm{e}^x\\ \end{aligned}

显然，原数列只是其特例

an=∑k=0+∞knk!=fn(1)a_n=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}=f_n(1)

受此影响，我开始采用的是与之前一样的做法：

f1(x)=∑k=0+∞kk!xk=x∑k=1+∞1(k−1)!xk−1=xexfn(x)=∑k=0+∞knk!xk=∑k=1+∞kn−1(k−1)!xk=∑k=1+∞(k−1)n−1(k−1)!xk+∑j=1n−1[(−1)j+1Cn−1j∑k=1+∞kn−j−1(k−1)!xk]=x∑k=1+∞kn−1k!xk+∑j=1n−1[(−1)j+1Cn−1j∑k=1+∞kn−jk!xk]=xfn−1(x)+∑j=1n−1[(−1)j+1Cn−1jfn−j(x)]\begin{aligned} f_1(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k}{k!}x^k=x\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(k-1)!}x^{k-1}=x\mathrm{e}^x\\ f_n(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{n-1}}{(k-1)!}x^k\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(k-1)^{n-1}}{(k-1)!}x^k+\sum_{j=1}^{n-1}\left[(-1)^{j+1}C_{n-1}^j\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{n-j-1}}{(k-1)!}x^k \right]\\ &=x\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{n-1}}{k!}x^k+\sum_{j=1}^{n-1}\left[(-1)^{j+1}C_{n-1}^j\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{n-j}}{k!}x^k \right]\\ &=xf_{n-1}(x)+\sum_{j=1}^{n-1}\left[(-1)^{j+1}C_{n-1}^jf_{n-j}(x) \right] \end{aligned}

这样，我们原则上可以获得这一函数列的任意项（虽然很难算）。

然而，很快我就发现了另一种简便许多的办法：

fn+1(x)=∑k=0+∞kn+1k!xk=x∑k=0+∞kn+1k!xk−1=xddx(∑k=0+∞knk!xk)=xfn′(x)f_{n+1}(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^{n+1}}{k!}x^k=x\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^{n+1}}{k!}x^{k-1}=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}x^k\right)=xf'_n(x)

这一递推式同样能得到这一函数列的任意项，而且计算上要简便许多。

而在此基础上，，我们求原数列 an=fn(1)a_n=f_n(1) 也比原来简便。这无疑是所谓“创造者悖论”（越宏大的计划,越有机会获得成功,多个问题也许要比一个问题容易回答,较全面的定理可能更容易证明,较普遍的题目可能更容易解答。）的一个例证。也正印证了华罗庚教授的一句话：“解题时先足够地退，退到我们最容易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”

附：

{fn(x)ex}\{\frac{f_n(x)}{\mathrm{e}^x}\} 的前几项：

xx2+xx3+3x2+xx4+6x3+7x2+xx5+10x4+25x3+15x2+xx6+15x5+65x4+90x3+31x2+xx7+21x6+140x5+350x4+301x3+63x2+xx8+28x7+266x6+1050x5+1701x4+966x3+127x2+x⋮\begin{gathered} x \\ x^2+x \\ x^3+3x^2+x \\ x^4+6x^3+7x^2+x \\ x^5+10 x^4+25 x^3+15 x^2+x \\ x^6+15 x^5+65 x^4+90 x^3+31 x^2+x \\ x^7+21 x^6+140 x^5+350 x^4+301 x^3+63 x^2+x \\ x^8+28 x^7+266 x^6+1050 x^5+1701 x^4+966 x^3+127 x^2+x\\ \vdots \end{gathered}

2020年1月18日补记：

在前一篇的补记中提到，用Mathematica发现了名为BellB的函数。实际上，这个函数的完全体是 Bell 多项式，即这篇文章前面阐述的这个多项式序列。

它是函数 h(t)=exp⁡[(exp⁡(t)−1)x]h(t)=\exp[(\exp(t)-1)x ] 的生成函数。

甚至这个多项式的系数序列也有专门的名称，叫第二类Stirling数。这组数跟组合理论有深刻的联系。

另参见：

更新于：2020年1月22日

数学

数列

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