记Mathematica求导的一些坑

这篇文章主要是记录一下在回答贴吧上这个问题时所发现的关于Mathematica求导的一些坑。

原问题虽然没有明说，但我推测问题背景应该是波特图之类的问题，具体问题如下：

对这个函数的幅角求导，代入一个数值为什么求出了个复数值啊，实函数求导应该是实数啊。声明了一下x是实数后好像也不行。
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f[x_] := Arg[(-(x - 1)^2 + 4 (4 x^3 - 3 x^2 - x^4))/((x - 1)^2 + 4 (4 x^3 - 3 x^2 - x^4) - 4*I*(x^3 - 3 x^2 + 2 x))]
f'[5]
(*Out: (513125/13791752+(342351 I)/3447938) Arg'[2499/2626-(765 I)/2626]*)
N[(513125/13791752+(342351 I)/3447938) Arg'[2499/2626-(765 I)/2626]]
(*Out: 0.0109427 + 0.0292034 I*)
这是程序，我觉得可能是程序表达的问题，那么该怎么去写这个程序呢？新手上路，老哥请指点

这段程序恰好碰到了Mathematica在求导问题上的两个坑：

Mathematica总是假设链式求导法则是有效的，但这里遇到的Arg本身是一个不可导的函数，链导法则是不成立的。这一点是一个非常常见的坑。
然后Mathematica的数值导数设计的也欠合理，在遇到符号求导失效的情况时，Mathematica在计算函数导数时会利用其沿着实轴方向的变化率来近似求导（事实上Arg沿复平面不同方向的变化率通常不相等），而Arg本身总是实数，这样一来得到的Arg'[...]的结果就总是一个实数，然而前面根据链导法则乘出的那一坨又是个复数，自然得到的最终结果也是复数。

针对这个问题，可以提出两种解决办法：

一个很自然的想法是直接绕开Arg这个不可导的函数，即可以将通过ComplexExpand其转化为ArcTan形式，再去求导就不会有这些问题了：
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f[x_]=ComplexExpand[Arg[(-(x-1)^2+4 (4 x^3-3 x^2-x^4))/((x-1)^2+4 (4 x^3-3 x^2-x^4)-4*I*(x^3-3 x^2+2 x))],TargetFunctions->{Re,Im}];
f'[5]
(*Out: 1117/10504*)
还可以反过来利用上述数值导数的坑来解决：因为这里就是要求f沿实轴方向的导数，所以我们不妨利用数值导数始终沿实轴发生这一特性，先从f上就避免符号计算引入错误的链导法则，然后直接让Mathematica对f进行数值求导，于是可以这么写：
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Clear[f]
f[x_?NumericQ]:=Arg[(-(x-1)^2+4 (4 x^3-3 x^2-x^4))/((x-1)^2+4 (4 x^3-3 x^2-x^4)-4*I*(x^3-3 x^2+2 x))]
f'[5.]
(*Out: 0.10634*)
如果只需要近似的数值值得话，同样可以解决问题。